В силлогистике отношение следования представлено общеутвердительной посылкой Всякое x  есть у , сущность которой в том, что всякаяx -вещь необходимо есть xy -вещь, а всякая y ? -вещь (не- y -вещь) необходимо есть x?y?-вещь. При этом естественно исключены (невозможны) xy ?-вещи, поскольку x  необходимо должно быть у  (не может быть у ?). Однако вместе с тем x ? y -вещи не исключены, они возможны , но не необходимы в силу наличия xy  — и x ? y ? -вещей. Если же наряду с “Всякое x  есть у ” выполняется “Всякое у есть x ”, то будут исключены как xy?-, так и x?y-вещи, т.е. получится отношение эквивалентности — х  равнозначно у , выразимое в двухзначной логике: “равнозначно/неравнозначно”. Для отношения же следования требуются три значения: “необходимо есть” / “возможно, но не необходимо” / “невозможно”, поэтому двухзначной импликации для адекватного выражения следования недостаточно. При наличии xy ? -вещей следование невозможно, а если х -вещей нет, то следование не исключено, т.е. возможно, но не необходимо. В случаях же несуществования х -вещей, либо у -вещей, импликация вообще не выражает никакой взаимосвязи между терминами, не составляет двухместного отношения. В этих случаях другой термин волен принимать любое значение независимо.

 

Для устранения “парадоксов” импликации достаточно предотвратить эти случаи непеременности (константности) ее терминов. Так, строгая импликация Льюиса, представляющая собой несуществование ху? -вещей, т.е. V ?ху? , парадоксально выполняется при несуществовании х -вещей, а также при несуществовании y?-вещей, т.е. при V?х и при V?у?. Парадоксов не станет, если наряду с V ?ху?потребовать V х  и V у?  — существования х -вещей и у? -вещей.

 

В результате импликация Льюиса превращается в аристотелево необходимое следование VxV?xy?Vу? [1]. В совершенной дизъюнктной нормальной форме этого отношения — VхуV?хVх? — очевидна его трехзначность: наряду с принадлежностью рассматриваемому подмножеству декартова произведения {х, х?} х {у, y ?} членов ху, х?у?и антипринадлежностью ху? умалчивается член х?у . Умалчиванием выражена третья разновидность принадлежности — привходящая, возможная, но не необходимая. Подмножество, допускающее привходящую принадлежность, нечетко, а представленное им отношение трехзначно.

 

В математической логике отклонение от аристотелева истолкования общеутвердительной посылки “Все А суть В”, превратившее ее из содержательного следования в двухзначную импликацию, Гильберт и Аккерман оправдывали потребностями математических применений логики, “где класть в основу аристотелево понимание было бы нецелесообразно” [2, с. 79]. Они не придавали значения тому, что логика при этом утратила содержательность, полагая, что их логическое исчисление “делает возможным успешный охват проблем, перед которыми принципиально бессильно чисто содержательное логическое мышление” [2, с. 17].

 

На самом деле бессодержательной логику сделали 2,3 тыс. лет тому назад античные стоики, также стремившиеся к запредельной абстрактности, которая была осуществлена посредством “высказываний”, подчиненных “закону исключенного третьего”, допускавшему для высказывания только два значения “истинности” — “истина / ложь”. Именно двухзначностью адекватная живой реальности силлогистика Аристотеля превращена в мертвую схоластику. Математическая логика лишь выразила эту “классику” в строгих алгебраических формах, с очевидностью выявивших ее неадекватность [3].

 

Стоики “скомпенсировали” отсутствие в их логике отношения следования с необходимостью осуществлением умозаключений по правилам modus ponens и modus tollens . В математической логике также указывают на то, что импликация — это не следование: “Соотношение”если Х то Y “не следует понимать как выражение для отношения основания и следствия. Напротив, высказывание Х→Y истинно всегда уже в том случае, когда X есть ложное или же Y истинное высказывание [2, с. 20]. Однако вместе с тем в математической логике даже сами ее основоположники отождествляют двухзначную импликацию с трехзначным аристотелевым следованием, поскольку и то и другое ассоциируется с суждением “Все А суть В”. В результате с точки зрения математической логики признаны ошибочными безупречные в действительности модусы силлогистики darapti, damalip, felapton, fesapo [2, с. 79] и отвергается силлогизм подчинения частного общему, ибо согласно отклонению от аристотелева истолкования в суждении “Все А суть В” не содержится с необходимостью “Некоторые А суть В”.

 

Ян Лукасевич, изобретя в 1920 г . трехзначную модальную логику, в своей обстоятельной книге “Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики” [4] алгебраически “доказал” путем отождествления трехзначного следования с материальной импликацией, что цитированное выше аристотелево утверждение: “Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет” неверно. Оно неверно с точки зрения логики, не соблюдающей основной логический закон — закон тождества. Суждение “Все А суть В”, выражающее отношение следования В из А , нельзя отождествлять с “Ни одно А не есть не-В”, которым в естественном языке представлено двухзначное отношение импликации.

 

Беда, по-видимому, в том, что логика немыслима без отношения следования, которое в сущности трехзначно и в двухзначной логике естественно отсутствует. Отношение, называемое импликацией, подобно следованию, выражается тем же “если… то” и обозначается той же стрелкой →. Не удивительно, что импликацию принимают за следование. Но если без следования нет логики, то логика с импликацией в качестве следования тем более не логика. В ней из несуществующего следует “все, что угодно”, из “2 в 2 = 4” следует, что “снег бел”.

 

Это все та же ущербная, пренебрегающая здравым смыслом двухзначная логика, и результат ее внедрения, естественно, не оправдывает ожиданий. Так, в книге Т. Оппенгеймера [5] неопровержимо доказана пагубность компьютеризации обучения в школах США. Автор настаивает на удалении компьютеров из школы, что едва ли осуществимо в сложившейся ситуации. Но ведь корень зла не в компьютерах, а в заложенной в них примитивной, противоестественной логике дискретного двоичного мира, которая прививается учащимся, блокируя их способность овладеть логикой мира реального. Окажись в компьютерах благоразумная естественная логика, результат компьютеризации обучения был бы диаметрально противоположным.

 

Однако адекватной (диалектической) логики сегодня нет не только в компьютерах, но и во всей “науке о мышлении”, даже в той ее части, которая не подчинена догматическому “закону исключенного третьего” (неправомерно приписываемому Аристотелю) и сосредоточилась на изобретении недвухзначных (“неаристотелевых”) логик. Изобретательство это безуспешно, потому что носит чисто формальный характер. Если бы исследовали проблему по существу, то обнаружили бы, во-первых, что логика Аристотеля трехзначна, а во-вторых, что трехзначность — необходимое, но не достаточное условие адекватности логики. Логика же Аристотеля адекватна, поэтому изобретать неаристотелевы логики нет смысла.

Отрадным исключением является “Символическая логика” Льюиса Кэрролла [6], не нашедшая (как и аристотелева) должного понимания и надлежащего развития. У Кэрролла нет ни бессодержательных “истинных” / “ложных” высказываний, ни “закона исключенного третьего”.

 

Его логика исследует суждения, выражающие взаимосвязи (отношения) вещей, охарактеризованных совокупностями признаков (особенностей). “Во Вселенной множество вещей … Вещи обладают признаками … Любой признак или любую совокупность признаков будем называть также особенностью вещи”.

 

Суждение рассматривается как естественноязыковое выражение отношения, которым связаны обозначаемые посредством терминовx, y, z, … особенности вещей. Вместе с тем сущность того же отношения Кэрролл наглядно отображает на изобретенной им диаграмме и алгебраически так называемым “методом индексов”, позволяющим формально получить содержательное умозаключение из данных суждений, если оно существует.

 

Диаграмма Кэрролла внешне тождественна таблице истинности Пирса, используемой для определения булевых функций. Однако истолковывается представленное диаграммой не экстенсионально (не как класс вещей), а интенсионально — как множество вещей, а точнее, как подмножество декартова произведения попарно противоположных особенностей. Кроме того, клеткам диаграммы присваивается не одно из двух, а одно из трех значений — наряду с содержащими “0” либо “1” допускаются незанятые (пустые) клетки, означающие несущественность принадлежности соответствующих им вещей представленному на диаграмме подмножеству. Правда, сам Кэрролл понимал значение “1” как существование, значение “0” как несуществование вещи, а незанятость клетки у него не утверждает ни того, ни другого.

Например, отношение строгой импликации Льюиса V?xy? на двухтерминной диаграмме Кэрролла представлено единственным значением “0” в xy ? -клетке. Кэрролл выражал это отношение трояко: общеотрицательным суждением “Ни один xy? не существует”, либо “Ни одинх не есть у? ”, либо “Ни один у? не есть х ”.

 

Общеутвердительное суждение “Все х  суть у ” у Кэрролла содержало в себе необходимо следующее из него частноутвердительное “Некоторые х  суть у ”, равносильное суждению существования “Некоторые x у  существуют”. Кэрролл называл “Все х суть у” двойным суждением, эквивалентным двум суждениям: “Ни один х не есть у?” и “Некоторые х суть у”, т.е. V?ху?Vху — на диаграмме “0” в клетке xу?и “1” в клетке ху.

 

Ясно, что это уже не импликация (один из ее парадоксов устранен), но еще и не полноценное аристотелево следование. Не учтена контрапозитивность следования — оплошность, присущая, по-видимому, всем известным попыткам алгебраизации силлогистики. Восполнением этого упущения [7] “Символическая логика” Кэрролла превращается в наредкость стройное и безупречное изложение категорической силлогистики Аристотеля — фундамента диалектической логики.

 

Важнейшим критерием содержательности логики оказался выявленный в основании силлогистики Аристотеля диалектический принцип сосуществования противоположностей [8]. Контрапозитивность общеутвердительного суждения, как и симметричность отношения, выражаемого общеотрицательным суждением, представляют собой очевидные проявления этого принципа. Сущность же его в том, что обозначаемые посредством терминов x, y, z, … первичные (несоставные) особенности x, x?, y, y?, z, z?, … обретают смысл только в результате сопоставления вещей, обладающих противоположными особенностями, например x-вещи с x?-вещью.

 

Другими словами, принцип сосуществования противоположностей означает, что подмножеству декартова произведения {х, х?} x {у, у?}, отображающему содержательное отношение, необходимо принадлежат (сосуществуют в нем) все попарно противоположные особенности — V х Vх?VуVу?. На диаграмме Кэрролла выражение VхVх?VуVу? отображается наличием фишки существования “1” на каждой из четырех внутренних стенок, означающим непустоту классов х, х?, у, у?.

Это адекватный реальности Универсум Аристотеля (УА) — основа содержательной логики [8]. Именно в нем льюисова имлликация V?xy?и кэрроллово VхV?xy? необходимо превращаются в полноценное следование:

 

(V'ху')(VхVх'VуVу') ≡ VхуV'ху'Vх'у';

 

(VхV'ху')(VхVх'VуVу') ≡ VхуV'ху'Vу'.

 

Несуществование какой-либо из возможных на двухтерминной диаграмме вещей, например ху -вещи, в УА означает существование двух смежных с ней вещей:

 

(V'ху)(VхVx'VуVу') ≡ V'хуVхVу ≡ V'хуVху'Vх'у .

 

Существование же, например, ху' -вещи в силу принципа сосуществования противоположностей необходимо влечет также существование ее антипода — х'у -вещи. Поэтому частноутвердительная и частноотрицательная посылки силлогистики оказываются двойными и их всего две, а не четыре:

 

Iху ≡ АхуAух ≡ VхуVх'у';

 

Оху ≡ ЕхуЕх'у' ≡ Vху'Vху'.

 

Вместе с тем общих посылок оказывается не две, а четыре, впрочем, сводящиеся к одной инвертированием терминов: Еху ≡ Аху', Ех'у'≡ Aх'у, Aух ≡ A х'у'.